L’aprenentatge de les fraccions i de les seves propietats amb materials manipulatius des de la vivència i la descoberta, permet que s’entenguin i s’integrin aquests conceptes ja des del principi. Apropar-nos a les matemàtiques des de l’experiència i el joc, integrar el que estem fent, i després posar-hi nom, podria ser un camí molt més lleuger, amorós i efectiu.

Les fraccions apareixen al currículum de primària a cicle mitjà, dels 8 als 9 anys, i en alguns llibres de text, a cicle inicial.  Fins aquest moment, a l’àmbit escolar, els infants coneixien els nombres naturals, aquells que pots col·locar en una recta numèrica; que si els sumes dona un quantitat major, i si els restes, una de menor.  Fins i tot més endavant, quan s’introdueix la multiplicació i la divisió, passa el mateix.  Les multiplicacions fan els números més grans i les divisions més petits.  També saps que darrere del 2 va el 3, i després el 4, i que van associats a una quantitat concreta.

Però quan arriben les fraccions i ens parlen que són una relació entre dos nombres naturals, que entre una i l’altra hi ha infinites fraccions, i que una fracció pot tenir una fracció equivalent, és a dir, una altra que té el mateix valor que aquesta, però que s’escriu diferent, la cosa es comença a complicar.

L’aprenentatge de les fraccions i de les seves propietats amb materials manipulatius des de la vivència i la descoberta, permet que s’entenguin i s’integrin aquests conceptes, que seran necessaris per a l’etapa posterior de secundària.

El meu sentir

A vegades, els noms i els conceptes matemàtics tenen un pes que ens allunya de la comprensió o de l’experiència matemàtica, amb la que és molt més fàcil connectar.  Apropar-nos-hi des de l’experiència i el joc, integrar el que estem fent, i després posar-hi nom, podria ser un camí matemàtic molt més lleuger, amorós i efectiu.

Materials concrets

Els materials que m’agraden i que utilitzo són aquells que, independentment de la pedagogia de la que formin part, ajuden a la comprensió del concepte matemàtic que es vulgui treballar. N’hi ha que ens ajuden a consolidar aquest concepte, ajudant-nos des de la repetició.  Aquesta repetició es pot donar en un entorn lúdic, de joc.

Els materials haurien de ser bonics i presentats amb cura, pensant en els destinataris que gaudiran l’experiència i la vivència.  Han de ser materials amb els que nosaltres, els adults que acompanyem als infants, connectem, ja que amb el seu ús transmetem als infants el nostre sentir.

Peons fraccionaris

Materials per introduir les fraccions n’hi ha de molt diferents.  Pomes o cubs imantats que formen la unitat i que es poden dividir en mitjos, terços, quarts …  Els peons fraccionaris de la pedagogia Montessori és un material perfecte per introduir el concepte de fraccions.

Quina és la característica d’aquest material?  Doncs que ens presenta quatre objectes (peons) aparentment iguals però amb característiques que els diferencien.  Un és compacte, el segon es pot dividir en dues parts iguals, el tercer es pot dividir en tres parts iguals, i el quart, en quatre parts iguals.

El que m’agrada d’aquest material és que pots agafar els peons amb la mà i et dona aquesta sensació, d’una única peça, i que aparentment totes són iguals.  En obrir la mà, la que representa la unitat segueix sent una, la que representa els mitjos s’obre per la meitat, la de terços en tres parts iguals i la de quarts en quatre parts iguals.

A més, aquest material té una base que ens permet col·locar els quatre peons i observar que són iguals, que ocupen el mateix espai i que tenen la mateixa forma.  Aquest és un material que dona comprensió.

Blocs geomètrics

Un segon material per acompanyar aquest primer contacte amb les fraccions podrien ser els blocs geomètrics.  Són un material meravellós que té moltíssimes possibilitats i que encanta als infants.  Els podeu trobar en fusta, plàstic, plàstic translúcid per treballar-los amb la taula de llum, de material reciclat, els podeu imprimir en paper o cartolina…

Els blocs geomètrics tenen peces hexagonals de color groc, rombes blaus, trapezis magentes, romboides naturals, quadrats taronges i triangles verds.  Per treballar les fraccions farem servir les peces grogues, magentes, blaves i verdes.

La particularitat d’aquest material és que els costats de totes les formes geomètriques són iguals, a excepció del costat llarg del trapezi (la peça magenta), que és el doble que la resta.  Això permet que es puguin combinar de moltes maneres diferents.  Es poden crear mandales, representar formes conegudes (animals, cases …) i propostes més concretes, com la d’omplir aquest rusc d’abelles (que es veu a la imatge) amb els blocs geomètrics tot fent servir una ruleta que ens determinarà quina peça agafar.

La ruleta

Amb aquesta proposta, a més de gaudir del joc, podem treballar les fraccions equivalents, ja que tenim peces que poden representar la unitat, 1/2, 1/3 i 1/6.  Si fem girar la ruleta ens indica quina peça hem d’agafar i nosaltres la col·loquem al tauler.  Omplim els buits i tant és si posem les peces amb les seves iguals o en combinem de diferents en cada espai hexagonal.  Podem ajuntar el trapezi magenta que equivaldria a  amb un rombe blau, que equivaldria a 1/3,i un triangle verd, que equivaldria a 1/6.  Això ens permet evidenciar, des del joc, que 1/2 + 1/3  + 1/6 = 1, l’espai que ocupa un hexàgon groc (una unitat).

També pot arribar el moment que no tinguem més peces de les que ens demana la ruleta, i aleshores podríem buscar una altra peça o peces que siguin equivalents a la que ens demana.  Per exemple:  ens surt un rombe blau i ja no en queden més per col·locar al rusc, quina peça o peces podríem agafar que siguin equivalents o que ocupin el mateix espai?  Doncs sí, dos triangles verds.

Aquest és un material que ajuda a consolidar els aprenentatges.

Si us ha agradat aquest material, podeu trobar diferents propostes a internet buscant el seu nom en anglès, “Pattern blocks” i la recerca serà més profitosa i variada.

Els discs i les barres fraccionaris

Un altre material que ens permet jugar amb les fraccions i integrar algunes de les seves propietats des de l’exploració i el joc, d’una manera activa, són els discs fraccionaris o les barres fraccionaries.  Aquest és un material educatiu que ens permet:

  • Identificar les fraccions a partir de la comparació amb la unitat.
  • Associar la fracció escrita a un material manipulatiu.
  • Buscar les equivalències de les fraccions a partir de la comparació.
  • Sumar i restar fraccions.

Identificar les fraccions a partir de la comparació amb la unitat

Les barres fraccionàries es poden agrupar.  Les que són iguals en files, i col·locar-les a sota de la unitat, comprovant la quantitat que en necessitem per fer una unitat.  Podem deixar la que representa la unitat en la part superior, i a sota podem col·locar, per exemple, les peces que representen 1/3.  Per omplir l’espai que representa la unitat, 1, haurem de col·locar 3 peces de 1/3.  3/3 = 1.

El mateix passa amb els discs fraccionaris, podem agrupar els que són iguals formant el cercle complert, com la unitat.  En aquest cas, agruparem totes les fraccions de cercles que representen 1/6.  En aquest cas, veurem que necessitem 6 peces de 1/6 per formar el cercle complet.  6/6 = 1.

Associar la fracció escrita a un material manipulatiu

Tots dos materials tenen la fracció escrita en una de les cares.  Una vegada ja coneixen el material, l’han agrupat i han format la unitat, poden comptar les peces que cada una de les fraccions necessita per arribar a la unitat.  D’aquesta manera, podem introduir el concepte de denominador.  I en funció de les peces que escollim de cada fracció de igual denominador determinarem el numerador.  Simplement posem nom a una acció que ja hem fet, que coneixem i entenem.

Buscar les equivalències de les fraccions a partir de la comparació

En aquest cas, podem treure una de les parts dels discs fraccionaris i omplir aquest buit amb peces de fraccions més petites.  Una part és igual a vàries de més petites, aquestes serien fraccions equivalents.

També podem fer-ho al revés, treure més d’una peça i trobar una peça més gran, una fracció equivalent, que és igual al buit que han deixat les que hem tret.

Inicialment, es pot fer des de la comparació, sense anar més enllà.

A partir d’aquí, en funció de l’interès de l’infant o del moment en el que estigui, podem trobar relacions entre les fraccions i entendre, des de la vivència i la manipulació, els possibles patrons que ens permetran connectar amb la teoria, amb el concepte de fraccions equivalents més enllà de la manipulació.  2/6 són iguals a 1/3, 2/8 són iguals a 1/4, 3/12 són iguals a 1/4…  A quines conclusions podem arribar a partir d’aquestes equivalències?

Sumar i restar fraccions

Amb els discs i barres fraccionades es poden fer petites operacions, tant de suma com de resta de fraccions.  Si ajuntem dues o tres peces iguals, podem fer sumes amb el mateix denominador.  Si ajuntem dues o tres peces diferents, podem fer sumes amb diferent denominador.  Com?  Les ajuntem i busquem una peça equivalent al conjunt que volem sumar.

Les restes, si tenim 3/4, agafarem 3 peces d’ 1/4 i li podem restar2/4, és a dir, 2 peces d’1/4.  El resultat seria1/4, 3/4 – 2/4 = 1/4.

 També podem fer restes amb diferent denominador.  Si tenim 1/2, i li volem restar 1/8.  Podem posar les dues peces dels discs fraccionaris una sobra l’altra, i buscar la peça o peces que omplen el buit.  Seria com treballar les fraccions equivalents, però d’una altra manera.  De fet, si han manipulat molt buscant equivalències, aquest resultat, 3/8, el podrien donar directament.

A més de sumes i restes de fraccions, els materials manipulatius permeten treballar la multiplicació i la divisió entre fraccions.

Les peces de Lego

I per últim, les peces de Lego, tant presents a cases i escoles.  És un material fantàstic per jugar, crear i construir, però també per treballar les fraccions.

Agafem unes quantes peces de Lego de dos colors, per exemple 5 de blaves i 7 de grogues.  Com podríem representar la fracció d’aquest conjunt d’objectes?  La proporció de peces blaves és 5/12, i de peces grogues 7/12.  Ja tenim un altre concepte:  la fracció com a representació d’una proporció d’objectes.

Conclusions

Les fraccions són un exemple més que els conceptes matemàtics amb una manipulació que neixi de l’interior de l’infant, o sigui, amb un aprenentatge actiu des del descobriment, no només es fan més entenedors, sinó que s’afavoreix una relació més satisfactòria i sense dolor amb les mates.

A vegades, els adults que acompanyem als infants en el camí matemàtic hem de sanar la nostra relació amb aquesta matèria, que en moltes ocasions ens va arribar a la nostra etapa escolar sense comprensió, això ens pot fer sentir insegures a l’hora de transmetre-la als infants.  Des de la connexió i la confiança, el camí és més gratificant.

Una de les conseqüències de l’ús de materials manipulatius per acompanyar l’aprenentatge de les matemàtiques és adonar-se, sentir i gaudir la màgia de les matemàtiques.

Laura López és formadora i especialista en matemàtiques vivencials. És responsable de la web aprendemosjuntoalmar.com.

Bibliografia

– Dossiers de Maria Antònia Canals.  Fraccions.  Rosa Sensat.  2009

– GAMAR.  Gabinet de Materials i de Recerca per la Matemàtica a l’Escola  https://bit.ly/2TFyr3L